מצב הדדי בין שני ישרים – מתלכדים, מקבילים, נחתכים, מצטלביםוקטורים 572 · שיעור 31

וקטורים · שאלון 572

מצב הדדי בין שני ישרים – מתלכדים, מקבילים, נחתכים, מצטלבים

פרק 7 – ישר במרחב

1נוסח השאלה

2סעיף א – הישר ℓ2

3סעיף ב – הישר ℓ3

4סעיף ג – הישר ℓ4

5סעיף ד – הישר ℓ5

📄 נוסח השאלה

נתון הישר ℓ₁ : x = (1 , 0 , 2) + t(1 , 2 , −1).

קבעו את המצב ההדדי בין ℓ₁ לבין כל אחד מהישרים הבאים. אם הישרים נחתכים – מצאו את נקודת החיתוך.

א. ℓ₂ : x = (3 , 4 , 0) + s(−2 , −4 , 2)

ב. ℓ₃ : x = (0 , 1 , 1) + s(2 , 4 , −2)

ג. ℓ₄ : x = (4 , 0 , 7) + s(1 , −1 , 3)

📄 נוסח השאלה · המשך

ד. ℓ₅ : x = s(1 , 1 , 1)

סעיף א – הישר ℓ2

בודקים קודם את וקטורי הכיוון:

📐 מצב הדדי בין שני ישרים

(−2 , −4 , 2) = −2 · (1 , 2 , −1)

וקטורי הכיוון קולינאריים – הישרים מתלכדים או מקבילים. נבדוק אם הנקודה (3 , 4 , 0) של ℓ₂ נמצאת על ℓ₁. משיעור x:

1 + t = 3

t = 2

y = 2t , z = 2 − t

📐 מצב הדדי בין שני ישרים

וקטורי כיוון קולינאריים: מתלכדים או מקבילים
לא קולינאריים: נחתכים או מצטלבים

סעיף א – הישר ℓ2 · המשך

y = 2t , z = 2 − t

נציב t = 2:

y = 2 · 2 = 4 ✓

z = 2 − 2 = 0 ✓

הנקודה על ℓ₁ – לישרים יש נקודה משותפת והם בעלי אותו כיוון.

✅ פתרון סופי: הישרים מתלכדים

סעיף ב – הישר ℓ3

וקטורי הכיוון:

📐 מצב הדדי בין שני ישרים

(2 , 4 , −2) = 2 · (1 , 2 , −1)

קולינאריים. נבדוק את הנקודה (0 , 1 , 1) של ℓ₃. משיעור x:

1 + t = 0

t = −1

y = 2t

📐 מצב הדדי בין שני ישרים

וקטורי כיוון קולינאריים: מתלכדים או מקבילים
לא קולינאריים: נחתכים או מצטלבים

סעיף ב – הישר ℓ3 · המשך

y = 2t

נציב t = −1:

y = 2 · (−1) = −2

אבל שיעור y של הנקודה הוא 1, לא −2 – הנקודה לא על ℓ₁.

✅ פתרון סופי: הישרים מקבילים (ולא מתלכדים)

סעיף ג – הישר ℓ4

וקטורי הכיוון:

📐 מצב הדדי בין שני ישרים

(1 , −1 , 3) אינו כפולה של (1 , 2 , −1) (היחס בשיעור הראשון 1, ובשני −12) – הישרים נחתכים או מצטלבים.

מחפשים נקודה משותפת:

📐 נקודת חיתוך

(1 + t , 2t , 2 − t) = (4 + s , −s , 7 + 3s)

x: 1 + t = 4 + s

y: 2t = −s

📐 מצב הדדי בין שני ישרים

וקטורי כיוון קולינאריים: מתלכדים או מקבילים
לא קולינאריים: נחתכים או מצטלבים

📐 נקודת חיתוך

משווים את שיעורי x , y , z של שתי ההצגות

סעיף ג – הישר ℓ4 · המשך

y: 2t = −s

z: 2 − t = 7 + 3s

פותרים את שתי המשוואות הראשונות: t − s = 3 , 2t + s = 0 (במחשבון MODE 5 1):

t = 1 , s = −2

בודקים במשוואה השלישית:

2 − t = 7 + 3s

סעיף ג – הישר ℓ4 · המשך

2 − t = 7 + 3s

נציב t = 1 , s = −2:

2 − 1 = 7 + 3 · (−2)

1 = 1 ✓

יש נקודה משותפת. נציב t = 1 ב־ℓ₁:

x = (1 + 1 , 2 · 1 , 2 − 1) = (2 , 2 , 1)

סעיף ג – הישר ℓ4 · המשך

x = (1 + 1 , 2 · 1 , 2 − 1) = (2 , 2 , 1)

✅ פתרון סופי: הישרים נחתכים בנקודה (2 , 2 , 1)

סעיף ד – הישר ℓ5

וקטורי הכיוון:

📐 מצב הדדי בין שני ישרים

(1 , 1 , 1) אינו כפולה של (1 , 2 , −1) – נחתכים או מצטלבים.

מחפשים נקודה משותפת:

📐 נקודת חיתוך

x: 1 + t = s

y: 2t = s

z: 2 − t = s

📐 מצב הדדי בין שני ישרים

וקטורי כיוון קולינאריים: מתלכדים או מקבילים
לא קולינאריים: נחתכים או מצטלבים

📐 נקודת חיתוך

משווים את שיעורי x , y , z של שתי ההצגות

סעיף ד – הישר ℓ5 · המשך

z: 2 − t = s

משתי המשוואות הראשונות:

1 + t = 2t

t = 1

s = 2t

נציב t = 1:

סעיף ד – הישר ℓ5 · המשך

נציב t = 1:

s = 2 · 1 = 2

בודקים במשוואה השלישית:

2 − t = s

נציב t = 1 , s = 2:

2 − 1 = 2

סעיף ד – הישר ℓ5 · המשך

2 − 1 = 2

1 = 2 ✗

אין נקודה משותפת, והישרים לא מקבילים.

✅ פתרון סופי: הישרים מצטלבים

📌 סיכום התשובות

סעיף א

ℓ₂ – מתלכדים

סעיף ב

ℓ₃ – מקבילים

סעיף ג

ℓ₄ – נחתכים ב־(2 , 2 , 1)

סעיף ד

ℓ₅ – מצטלבים

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא